Trigonometría Ejemplos

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x))$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x))$

Paso 2.1.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.4

Multiplica $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 2.4.1

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.4.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.4.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Paso 2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Paso 2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\cos (x) + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (x) + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Paso 4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Paso 4.2

Para escribir $\cos (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{1}{\cos (x)}$ como $\sec (x)$ .

$\sec (x)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec (x)$ es una identidad