Trigonometría Ejemplos

$\tan (105)$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $105$ se puede dividir en $45 + 60$ .

$\tan (45 + 60)$

Paso 2

Usa la fórmula de suma para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Paso 3.2

El valor exacto de $\tan (60)$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (60)}$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (60)}$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (60)$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

Paso 4.4

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Paso 6.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Eleva $1 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 7.2

Eleva $1 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Paso 7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Paso 8

Reescribe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 9

Expande $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.1.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.1.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Paso 10.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Paso 10.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Paso 10.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Paso 10.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 10.3

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $- 2$ .

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Paso 12

Reescribe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ como $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Paso 14

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$