Trigonometría Ejemplos

${(1 + i)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.7

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Paso 2.1.9

Factoriza $i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Paso 2.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Paso 2.1.11

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Paso 2.1.12

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Paso 2.1.13

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.13.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Paso 2.1.13.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Paso 2.1.13.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $6$ de $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Paso 2.2.2

Suma $- 5$ y $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Paso 2.2.3

Resta $4 i$ de $4 i$ .

$- 4 + 0$

Paso 2.2.4

Suma $- 4$ y $0$ .

$- 4$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 4$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Paso 6.3

Suma $0$ y $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Paso 6.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Paso 6.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 4$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{0}{- 4}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $π$ .

$θ = π$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = π$ y $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$