Trigonometría Ejemplos

$\tan (\frac{7 π}{8})$

Paso 1

Reescribe

$\frac{7 π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por

$2$ .

$\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo mitad de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Paso 3

Change the

$\pm$ to

$-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Paso 4

Simplifica

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$ .

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Paso 4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Paso 4.2

El valor exacto de

$\cos (\frac{π}{4})$ es

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Paso 4.3

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Paso 4.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Paso 4.6

El valor exacto de

$\cos (\frac{π}{4})$ es

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 4.7

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 4.9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 4.10

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.10.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 4.10.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 4.11

Multiplica

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Paso 4.12

Multiplica

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Paso 4.13

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 4.14

Simplifica.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.15

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.16

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.16.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.16.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.17

Combina

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ y

$\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.18

Simplifica cada término.

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Paso 4.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.18.2

Multiplica

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 4.18.2.1

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Paso 4.18.2.2

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Paso 4.18.2.3

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Paso 4.18.2.4

Suma

$1$ y

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Paso 4.18.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.18.3.1

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 4.18.3.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Paso 4.18.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Paso 4.18.3.1.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Paso 4.18.3.1.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.18.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Paso 4.18.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Paso 4.18.3.1.5

Evalúa el exponente.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.18.3.2

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Paso 4.18.4

Cancela el factor común de

$2 \sqrt{2} - 2$ y

$2$ .

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Paso 4.18.4.1

Factoriza

$2$ de

$2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Paso 4.18.4.2

Factoriza

$2$ de

$- 2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Paso 4.18.4.3

Factoriza

$2$ de

$2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Paso 4.18.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.18.4.4.1

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Paso 4.18.4.4.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Paso 4.18.4.4.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Paso 4.18.4.4.4

Divide

$\sqrt{2} - 1$ por

$1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Paso 4.18.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Paso 4.18.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Paso 4.19

Suma

$2$ y

$1$ .

$- \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Paso 4.20

Resta

$\sqrt{2}$ de

$- \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 0.41421356 \dots$