Trigonometría Ejemplos

$\cos (\frac{11 π}{12})$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $\frac{11 π}{12}$ se puede dividir en $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Paso 2

Usa la fórmula de suma para el coseno para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{3})) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3})$

Paso 4.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.8

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 4.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.8.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.8.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.8.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Paso 5.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}$

Paso 5.3

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Reescribe $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ como $- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Paso 5.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Forma decimal:

$- 0.96592582 \dots$