Trigonometría Ejemplos

$\sec (\arcsin (u))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (u)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Por lo tanto, $\sec (\arcsin (u))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Paso 4.3

Eleva $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ como $(1 + u) (1 - u)$ .

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Paso 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ como ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Paso 4.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$