Trigonometría Ejemplos

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Paso 1

Para escribir $\frac{π}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4})$

Paso 2

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\tan (\frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\tan (\frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Paso 5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\tan (\frac{2 π + 3 \cdot π}{12})$

Paso 5.3

Suma $2 π$ y $3 π$ .

$\tan (\frac{5 π}{12})$

Paso 6

El valor exacto de $\tan (\frac{5 π}{12})$ es $2 + \sqrt{3}$ .

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Paso 6.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Paso 6.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 6.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 6.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 6.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Paso 6.6

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Paso 6.7

Simplifica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Paso 6.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Paso 6.7.1.2

Combinar.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 6.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 6.7.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 6.7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 6.7.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 6.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 6.7.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Paso 6.7.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 6.7.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Paso 6.7.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Paso 6.7.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 6.7.6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 6.7.7

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Paso 6.7.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.7.9

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 6.7.10.1

Reordena los términos.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.10.2

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.10.3

Eleva $3 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Paso 6.7.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Paso 6.7.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Paso 6.7.11

Reescribe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.12

Expande $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.7.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.7.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.7.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.7.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.7.13.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.7.13.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Paso 6.7.13.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Paso 6.7.13.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Paso 6.7.13.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 6.7.13.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.7.13.3

Suma $3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.7.14

Cancela el factor común de $12 + 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 6.7.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.7.14.2

Factoriza $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 6.7.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Paso 6.7.14.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Paso 6.7.14.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 6.7.14.4.4

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$