Trigonometría Ejemplos

$\tan (15)$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $15$ se puede dividir en $60 - 45$ .

$\tan (60 - 45)$

Paso 2

Usa la fórmula de diferencia para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (60)$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\tan (60)$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}$

Paso 5.2

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Paso 5.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Paso 7.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8.5

Eleva $1 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 8.6

Eleva $1 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Paso 8.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Paso 8.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Paso 9

Reescribe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 10

Expande $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 11.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 11.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Paso 11.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Paso 11.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Paso 11.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 11.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Paso 11.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Paso 11.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Paso 11.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Paso 11.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Paso 11.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Paso 11.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 11.3

Resta $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 12

Cancela el factor común de $4 - 2 \sqrt{3}$ y $- 2$ .

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Paso 12.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Paso 13

Reescribe $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ como $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Paso 14

Aplica la propiedad distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Paso 15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Paso 16

Multiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Paso 16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Paso 16.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Paso 17

Aplica la propiedad distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Paso 18

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$