Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 3

Combinar.

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Expande $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 8

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\sec (x) + \tan (x)$

Paso 9

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 9.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Paso 9.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 11

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x) + \tan (x)$ es una identidad