Trigonometría Ejemplos

$\sec (\frac{3 x}{2}) = - 2$

Paso 1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$\frac{3 x}{2} = arcsec (- 2)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $arcsec (- 2)$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 4.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Paso 5

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{3 x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Paso 6.2.2.1.4.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{8 π}{9}$

Paso 7

Obtén el período de $\sec (\frac{3 x}{2})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{3}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Paso 7.3

$\frac{3}{2}$ es aproximadamente $1.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Paso 7.5

Multiplica $2 π \frac{2}{3}$ .

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Paso 7.5.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Paso 7.5.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Paso 8

El período de la función $\sec (\frac{3 x}{2})$ es $\frac{4 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{4 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$