Trigonometría Ejemplos

$\sin (3 x) = - 1$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x = \arcsin (- 1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$3 x = - \frac{π}{2}$

Paso 3

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (3 x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 7

Suma $\frac{2 π}{3}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.1

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Paso 7.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Paso 7.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Paso 7.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Paso 7.5.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{6}$

Paso 7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2}$

Paso 7.7

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8

El período de la función $\sin (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$