Trigonometría Ejemplos

tan (\frac{π}{12})

$\tan (\frac{π}{12})$

Paso 1

Divide

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

\frac{tan (\frac{π}{4}) - tan (\frac{π}{6})}{1 + tan (\frac{π}{4}) tan (\frac{π}{6})}

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 3

El valor exacto de

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ es

1

$1$ .

\frac{1 - tan (\frac{π}{6})}{1 + tan (\frac{π}{4}) tan (\frac{π}{6})}

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 4

El valor exacto de

tan (\frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{6})$ es

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + tan (\frac{π}{4}) tan (\frac{π}{6})}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 5

El valor exacto de

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ es

1

$1$ .

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 tan (\frac{π}{6})}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Paso 6

El valor exacto de

tan (\frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{6})$ es

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 7

Simplifica

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Paso 7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

3

$3$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica

\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 7.1.2

Combinar.

\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de

3

$3$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el signo menos inicial en

- \frac{\sqrt{3}}{3}

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 7.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Paso 7.4

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 7.5.1

Multiplica

$3$ por

$1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 7.5.2.1

Factoriza

$3$ de

$3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 7.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 7.6

Multiplica

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 7.7

Multiplica

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Paso 7.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.9

Simplifica.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 7.10.1

Eleva

$3 - \sqrt{3}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.10.2

Eleva

$3 - \sqrt{3}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Paso 7.10.3

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Paso 7.10.4

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Paso 7.11

Reescribe

${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como

$(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.12

Expande

$(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.13.1.1

Multiplica

$3$ por

$3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.13.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.13.1.3

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.13.1.4

Multiplica

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 7.13.1.4.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.13.1.4.2

Multiplica

$\sqrt{3}$ por

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.13.1.4.3

Eleva

$\sqrt{3}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.13.1.4.4

Eleva

$\sqrt{3}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Paso 7.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Paso 7.13.1.4.6

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Paso 7.13.1.5

Reescribe

${\sqrt{3}}^{2}$ como

$3$ .

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Paso 7.13.1.5.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{3}$ como

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 7.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 7.13.1.5.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 7.13.1.5.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 7.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 7.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Paso 7.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 7.13.2

Suma

$9$ y

$3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.13.3

Resta

$3 \sqrt{3}$ de

$- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.14

Cancela el factor común de

$12 - 6 \sqrt{3}$ y

$6$ .

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Paso 7.14.1

Factoriza

$6$ de

$12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Paso 7.14.2

Factoriza

$6$ de

$- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.14.3

Factoriza

$6$ de

$6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Paso 7.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.14.4.1

Factoriza

$6$ de

$6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Paso 7.14.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Paso 7.14.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Paso 7.14.4.4

Divide

$2 - \sqrt{3}$ por

$1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$