Trigonometría Ejemplos

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

Step 2

Simplifica cada término.

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Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Simplifica el numerador.

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Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Simplifica el denominador.

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Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Step 5

Reescribe $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ como $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ es una identidad