Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 θ) + \cos (θ) = 0$

Step 1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) = 0$

Step 2

Factoriza $\cos (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ)$ .

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Factoriza $\cos (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) = 0$

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) = 0$

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 = 0$

Factoriza $\cos (θ)$ de $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Step 4

Establece $\cos (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\cos (θ)$ igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Resuelve $\cos (θ) = 0$ en $θ$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $2 \sin (θ) + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $2 \sin (θ) + 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

Resuelve $2 \sin (θ) + 1 = 0$ en $θ$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (θ) = - 1$

Divide cada término en $2 \sin (θ) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (θ) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (θ) (2 \sin (θ) + 1) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$