Trigonometría Ejemplos

6 {sin}^{2} (θ) - 17 sin (θ) + 14 = - 4 sin (θ) + 9

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Suma

$4 \sin (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Resta

$9$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Suma

$- 17 \sin (θ)$ y

$4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Resta

$9$ de

$14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Step 3

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Reordena los términos.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Para un polinomio de la forma

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

$a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ y cuya suma es

$b = - 13$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza

$- 13$ de

$- 13 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Reescribe

$- 13$ como

$- 3$ más

$- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

$2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Step 5

Establece

$2 \sin (θ) - 1$ igual a

$0$ y resuelve

$θ$ .

Toca para ver más pasos...

Establece

$2 \sin (θ) - 1$ igual a

$0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Resuelve

$2 \sin (θ) - 1 = 0$ en

$θ$ .

Toca para ver más pasos...

Suma

$1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (θ) = 1$

Divide cada término en

$2 \sin (θ) = 1$ por

$2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en

$2 \sin (θ) = 1$ por

$2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide

$\sin (θ)$ por

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer

$θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de

$\arcsin (\frac{1}{2})$ es

$30$ .

$θ = 30$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = 180 - 30$

Resta

$30$ de

$180$ .

$θ = 150$

Obtén el período de

$\sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide

$360$ por

$1$ .

$360$

El período de la función

$\sin (θ)$ es

$360$ , por lo que los valores se repetirán cada

$360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para cualquier número entero

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para cualquier número entero

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 6

Establece

$3 \sin (θ) - 5$ igual a

$0$ y resuelve

$θ$ .

Toca para ver más pasos...

Establece

$3 \sin (θ) - 5$ igual a

$0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Resuelve

$3 \sin (θ) - 5 = 0$ en

$θ$ .

Toca para ver más pasos...

Suma

$5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \sin (θ) = 5$

Divide cada término en

$3 \sin (θ) = 5$ por

$3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en

$3 \sin (θ) = 5$ por

$3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Divide

$\sin (θ)$ por

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

El rango del seno es

$- 1 \leq y \leq 1$ . Como

$\frac{5}{3}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ verdadera.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para cualquier número entero

$n$