Trigonometría Ejemplos

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Step 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

Step 3

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 4

Escribe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 5

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 6

Simplifica cada término.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Escribe $\sin^{2} (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 8

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 9

Escribe $\cos^{2} (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

Step 10

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Step 11

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Step 12

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Step 13

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Mueve ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma $- {\cos (x)}^{4}$ y ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma ${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ y $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica $\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ por $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Step 14

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Step 15

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Step 16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Step 17

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Para escribir $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Reordena los factores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Step 18

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Step 19

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ es una identidad