Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

Step 1

Sustituye $u$ por $\cos (2 θ)$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Step 2

Suma $u$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u^{2} + u = 1$

Step 3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Step 4

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Multiplica por $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Step 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Step 6

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 7

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Step 9

Sustituye $\cos (2 θ)$ por $u$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Step 10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

Step 11

Resuelve $θ$ en $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $60$ .

$2 θ = 60$

Divide cada término en $2 θ = 60$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 θ = 60$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $60$ por $2$ .

$θ = 30$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 θ = 360 - 60$

Resuelve $θ$

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Resta $60$ de $360$ .

$2 θ = 300$

Divide cada término en $2 θ = 300$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 θ = 300$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $300$ por $2$ .

$θ = 150$

Obtén el período de $\cos (2 θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{360}{2}$

Divide $360$ por $2$ .

$180$

El período de la función $\cos (2 θ)$ es $180$ , por lo que los valores se repetirán cada $180$ grados en ambas direcciones.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Resuelve $θ$ en $\cos (2 θ) = - 1$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$2 θ = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $180$ .

$2 θ = 180$

Divide cada término en $2 θ = 180$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 θ = 180$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $180$ por $2$ .

$θ = 90$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 θ = 360 - 180$

Resuelve $θ$

Toca para ver más pasos...

Resta $180$ de $360$ .

$2 θ = 180$

Divide cada término en $2 θ = 180$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 θ = 180$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $180$ por $2$ .

$θ = 90$

Obtén el período de $\cos (2 θ)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{360}{2}$

Divide $360$ por $2$ .

$180$

El período de la función $\cos (2 θ)$ es $180$ , por lo que los valores se repetirán cada $180$ grados en ambas direcciones.

$θ = 90 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Enumera todas las soluciones.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Consolida las respuestas.

$θ = 30 + 60 n$ , para cualquier número entero $n$