Trigonometría Ejemplos

$\sec^{2} (θ) - 6 \sec (θ) + 8 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \sec (θ)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sec (θ)$ .

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Factoriza $u^{2} - 6 u + 8$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u - 2) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (θ)$ .

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (θ) - 4 = 0$

$\sec (θ) - 2 = 0$

Step 3

Establece $\sec (θ) - 4$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\sec (θ) - 4$ igual a $0$ .

$\sec (θ) - 4 = 0$

Resuelve $\sec (θ) - 4 = 0$ en $θ$ .

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Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (θ) = 4$

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$θ = arcsec (4)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $arcsec (4)$ .

$θ = 75.52248781$

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 360 - 75.52248781$

Resta $75.52248781$ de $360$ .

$θ = 284.47751218$

Obtén el período de $\sec (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\sec (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\sec (θ) - 2$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\sec (θ) - 2$ igual a $0$ .

$\sec (θ) - 2 = 0$

Resuelve $\sec (θ) - 2 = 0$ en $θ$ .

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Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (θ) = 2$

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$θ = arcsec (2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (2)$ es $60$ .

$θ = 60$

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 360 - 60$

Resta $60$ de $360$ .

$θ = 300$

Obtén el período de $\sec (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\sec (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$ verdadera.

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$