Trigonometría Ejemplos

$\tan (θ) = \frac{24}{7}$ , $\sin (θ) < 0$

Paso 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solución está en el tercer cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de tangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\tan (θ) = \frac{opuesto}{adyacente}$

Paso 3

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(- 24)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{576 + {(- 7)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{576 + 49}$

Paso 5.3

Suma $576$ y $49$ .

Hipotenusa $= \sqrt{625}$

Paso 5.4

Reescribe $625$ como $25^{2}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{25^{2}}$

Paso 5.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

Hipotenusa $= 25$

Paso 6

Obtén el valor del seno.

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Paso 6.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- 24}{25}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{24}{25}$

Paso 7

Obtén el valor del coseno.

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Paso 7.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- 7}{25}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{7}{25}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{- 7}{- 24}$

Paso 8.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{7}{24}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{25}{- 7}$

Paso 9.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (θ) = - \frac{25}{7}$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{25}{- 24}$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{25}{24}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{24}{25}$

$\cos (θ) = - \frac{7}{25}$

$\tan (θ) = \frac{24}{7}$

$\cot (θ) = \frac{7}{24}$

$\sec (θ) = - \frac{25}{7}$

$\csc (θ) = - \frac{25}{24}$