Trigonometría Ejemplos

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Step 1

Divide cada término en $2 \sin^{2} (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin^{2} (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Step 2

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Step 3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 6

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Simplifica $π - \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{7 π}{4}$

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$