Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{3} + 3 i$

Step 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Step 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Step 3

Sustituye los valores reales de $a = \sqrt{3}$ y $b = 3$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Step 4

Obtén $| z |$ .

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Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{9 + 3}$

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{9 + 3}$

Suma $9$ y $3$ .

$| z | = \sqrt{12}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

Step 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{3}{\sqrt{3}})$

Step 6

Como la tangente inversa de $\frac{3}{\sqrt{3}}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Step 7

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{3}$ y $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$