Trigonometría Ejemplos

$- \frac{1}{1 + i}$

Step 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1}{1 + 1 i}$ por el conjugado de $1 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Step 2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Combinar.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Multiplica $1 - i$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Expande $(1 + 1 i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Suma $- 1 i$ y $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Step 3

Divide la fracción $\frac{1 - i}{2}$ en dos fracciones.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Step 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Step 5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Step 6

Multiplica $- - \frac{i}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Multiplica $\frac{i}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Step 7

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Step 8

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Step 9

Sustituye los valores reales de $a = - \frac{1}{2}$ y $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Step 10

Obtén $| z |$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Suma $1$ y $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Evalúa el exponente.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 11

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Step 12

Como la tangente inversa de $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Step 13

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ y $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$