Trigonometría Ejemplos

$\sec^{2} (x) - \sec (x) = 2$

Step 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2 = 0$

Step 2

Factoriza $\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

$\sec (x) + 1 = 0$

Step 4

Establece $\sec (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sec (x) - 2$ igual a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Resuelve $\sec (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = 2$

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $\sec (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sec (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Resuelve $\sec (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = - 1$

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$