Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Step 2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Step 3

Combinar.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Simplifica.

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Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

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Multiplica por $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Cancela los factores comunes.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Step 8

Ahora considera el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Step 9

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Step 10

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Step 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Step 12

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ es una identidad