Trigonometría Ejemplos

$\csc^{2} (θ) - 9 \csc (θ) + 20 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \csc (θ)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\csc (θ)$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Factoriza $u^{2} - 9 u + 20$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 5, - 4$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

$\csc (θ) - 4 = 0$

Step 3

Establece $\csc (θ) - 5$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\csc (θ) - 5$ igual a $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

Resuelve $\csc (θ) - 5 = 0$ en $θ$ .

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Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (θ) = 5$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (5)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $arccsc (5)$ .

$θ = 11.53695903$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = 180 - 11.53695903$

Resta $11.53695903$ de $180$ .

$θ = 168.46304096$

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\csc (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\csc (θ) - 4$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\csc (θ) - 4$ igual a $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

Resuelve $\csc (θ) - 4 = 0$ en $θ$ .

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Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (θ) = 4$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (4)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $arccsc (4)$ .

$θ = 14.47751218$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = 180 - 14.47751218$

Resta $14.47751218$ de $180$ .

$θ = 165.52248781$

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\csc (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$ verdadera.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n, 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$