Trigonometría Ejemplos

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Step 1

Simplifica la expresión.

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Reescribe $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Reescribe $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Step 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin^{2} (x)$ y $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Step 4

Multiplica $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Step 5

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Step 6

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Step 7

Sustituye los valores reales de $a = \sin^{2} (x)$ y $b = - 1 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Step 8

Obtén $| z |$ .

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Reescribe $- 1 \cos^{2} (x)$ como $- \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $- \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Multiplica ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Multiplica los exponentes en ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

Step 9

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Step 10

Sustituye los valores de $θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ y $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ .

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$