Trigonometría Ejemplos

$\sin (θ) = - \frac{3}{4}$ , $\cos (θ) > 0$

Paso 1

The cosine function is positive in the first and fourth quadrants. The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solución está en el cuarto cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de seno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\sin (θ) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$

Paso 3

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = \sqrt{{(4)}^{2} - {(- 3)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= \sqrt{16 - {(- 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= \sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

Adyacente $= \sqrt{16 - 9}$

Paso 5.4

Resta $9$ de $16$ .

Adyacente $= \sqrt{7}$

Paso 6

Obtén el valor del coseno.

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Paso 6.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Paso 7

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{7}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\tan (θ)$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (θ) = - \frac{3}{\sqrt{7}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{7}}{- 3}$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{7}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\sec (θ)$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 9.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 9.3.2.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 9.3.2.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 9.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 9.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 9.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Paso 9.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{4}{- 3}$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{4}{3}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{3}{4}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{7}}{7}$

$\csc (θ) = - \frac{4}{3}$