Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Step 2

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) + \sec (x))$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Step 3

Simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$({\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Cancela el factor común.

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Reescribe la expresión.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\cos (x)}$ al numerador.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Cancela el factor común.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Reescribe la expresión.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Simplifica cada término.

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Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Expande $(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\sin^{2} (x) - 1$

Step 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$ es una identidad