Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Step 2

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Para escribir $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ por $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Multiplica $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ por $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Reordena los factores de $(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Suma $- \sec (x)$ y $\sec (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

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Reordena $1$ y $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

Step 6

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Step 7

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Multiplica $2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ .

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Combina $- 2$ y $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 8

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 9

Combinar.

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Step 10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Step 11

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 13

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$- 2 \cot^{2} (x)$

Step 14

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 15

Simplifica.

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Combina $- 2$ y $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 16

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ es una identidad