Trigonometría Ejemplos

$\csc^{2} (θ) + \csc (θ) - 2 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \csc (θ)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\csc (θ)$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Factoriza $u^{2} + u - 2$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

$\csc (θ) + 2 = 0$

Step 3

Establece $\csc (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\csc (θ) - 1$ igual a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

Resuelve $\csc (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (θ) = 1$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (1)$ es $90$ .

$θ = 90$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = 180 - 90$

Resta $90$ de $180$ .

$θ = 90$

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\csc (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 90 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\csc (θ) + 2$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\csc (θ) + 2$ igual a $0$ .

$\csc (θ) + 2 = 0$

Resuelve $\csc (θ) + 2 = 0$ en $θ$ .

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Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (θ) = - 2$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cosecante.

$θ = arccsc (- 2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 2)$ es $- 30$ .

$θ = - 30$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $360$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $180$ to find the solution in the third quadrant.

$θ = 360 + 30 + 180$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $360 °$ de $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

El ángulo resultante de $210 °$ es positivo, menor que $360 °$ y coterminal con $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Obtén el período de $\csc (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

Suma $360$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $360$ y $- 30$ para obtener el ángulo positivo.

$- 30 + 360$

Resta $30$ de $360$ .

$330$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 330$

El período de la función $\csc (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$ verdadera.

$θ = 90 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Consolida las respuestas.

$θ = 90 + 120 n$ , para cualquier número entero $n$