Trigonometría Ejemplos

$(3 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Step 1

Para obtener $\csc (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(3 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(3 \frac{1}{2}, 0)$ y $(3 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Opuesto: $- 2 \sqrt{15}$

Adyacente: $3 \frac{1}{2}$

Step 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Convierte $3 \frac{1}{2}$ en una fracción impropia.

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Un número mixto es una suma de sus partes entera y fraccionaria.

$\sqrt{{(3 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Suma $3$ y $\frac{1}{2}$ .

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Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{{(\frac{3 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{{(\frac{6 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Suma $6$ y $1$ .

$\sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Simplifica la expresión.

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Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$\sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15}$

Multiplica $4$ por $15$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 60}$

Para escribir $60$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Combina $60$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{49 + 60 \cdot 4}{4}}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $60$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{49 + 240}{4}}$

Suma $49$ y $240$ .

$\sqrt{\frac{289}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{289}{4}}$ como $\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $289$ como $17^{2}$ .

$\frac{\sqrt{17^{2}}}{\sqrt{4}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{17}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{17}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{17}{2}$

Step 3

$\csc (θ) = \frac{Hipotenusa}{Opuesto}$ por lo tanto $\csc (θ) = \frac{\frac{17}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$ .

$\frac{\frac{17}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$

Step 4

Simplifica $\csc (θ)$ .

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{15}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{1}{(2) \sqrt{15}})$

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- (\frac{1}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}))$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Mueve $\sqrt{15}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Evalúa el exponente.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Multiplica $2$ por $15$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{30})$

Multiplica $\frac{17}{2} (- \frac{\sqrt{15}}{30})$ .

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Multiplica $\frac{17}{2}$ por $\frac{\sqrt{15}}{30}$ .

$\csc (θ) = - \frac{17 \sqrt{15}}{2 \cdot 30}$

Multiplica $2$ por $30$ .

$\csc (θ) = - \frac{17 \sqrt{15}}{60}$

Step 5

Aproxima el resultado.

$\csc (θ) = - \frac{17 \sqrt{15}}{60} \approx - 1.09734528$