Trigonometría Ejemplos

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Step 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Step 3

Factoriza.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Step 4

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Step 5

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Step 6

Simplifica.

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Simplifica cada término.

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Expande $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Multiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Suma $1$ y $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Suma $1$ y $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Resta $1$ de $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Suma $- {\sin (x)}^{2}$ y $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 7

Escribe $- \sin^{2} (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 8

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Step 9

Simplifica el numerador.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Step 10

Ahora considera el lado izquierdo de la ecuación.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 11

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Step 12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Step 13

Escribe $- \sin^{2} (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Step 14

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 15

Simplifica el numerador.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Step 16

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ es una identidad