Trigonometría Ejemplos

sec (θ) = - \sqrt{10}

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$ ,

cot (θ) > 0

$\cot (θ) > 0$

Paso 1

The cotangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for

θ

$θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solución está en el tercer cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de secante para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adyacente}

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adyacente}$

Paso 3

Obtén el lado opuesto del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen el lado adyacente y la hipotenusa, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

Opuesto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}

$Opuesto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

Opuesto = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$Opuesto = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Haz que

\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ sea negativo.

Opuesta

= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Reescribe

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ como

10

$10$ .

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Paso 5.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ como

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

Opuesta

= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opuesta

= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

Opuesta

= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

Opuesta

$= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

Opuesta

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Opuesta

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.5

Evalúa el exponente.

Opuesta

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Opuesta

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Multiplica

$- 1$ por

${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1

Multiplica

$- 1$ por

${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$1$ .

Opuesta

$= - \sqrt{10 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Opuesta

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Opuesta

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 5.3.2

Suma

$1$ y

$2$ .

Opuesta

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

Opuesta

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 5.4

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$3$ .

Opuesta

$= - \sqrt{10 - 1}$

Paso 5.5

Resta

$1$ de

$10$ .

Opuesta

$= - \sqrt{9}$

Paso 5.6

Reescribe

$9$ como

$3^{2}$ .

Opuesta

$= - \sqrt{3^{2}}$

Paso 5.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

Opuesta

$= - 1 \cdot 3$

Paso 5.8

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

Opuesta

$= - 3$

Opuesta

$= - 3$

Paso 6

Obtén el valor del seno.

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Paso 6.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de

$\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

Paso 6.3

Simplifica el valor de

$\sin (θ)$ .

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

Paso 6.3.2

Multiplica

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ por

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Paso 6.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ por

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 6.3.3.2

Eleva

$\sqrt{10}$ a la potencia de

$1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 6.3.3.3

Eleva

$\sqrt{10}$ a la potencia de

$1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 6.3.3.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.3.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 6.3.3.6

Reescribe

${\sqrt{10}}^{2}$ como

$10$ .

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Paso 6.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{10}$ como

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.3.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Paso 6.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Paso 7

Obtén el valor del coseno.

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Paso 7.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de

$\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de

$\cos (θ)$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Paso 7.3.2

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ por

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ por

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 7.3.3.2

Eleva

$\sqrt{10}$ a la potencia de

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva

$\sqrt{10}$ a la potencia de

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.3.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Reescribe

${\sqrt{10}}^{2}$ como

$10$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{10}$ como

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.3.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Paso 8

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de

$\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 8.3

Divide

$- 3$ por

$- 1$ .

$\tan (θ) = 3$

Paso 9

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 9.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de

$\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 9.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de

$\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = 3$

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$