Trigonometría Ejemplos

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Step 2

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Para escribir $\frac{1}{\cos (t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Para escribir $\frac{1}{\sin (t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos (t) \sin (t)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{\cos (t)}$ por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Multiplica $\frac{1}{\sin (t)}$ por $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Multiplica $\frac{1}{\cos (t)}$ por $\frac{1}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Cancela el factor común de $\cos (t) \sin (t)$ .

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Cancela el factor común.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Reescribe ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ como $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Expande $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Simplifica y combina los términos similares.

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica.

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Mueve $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Step 4

Reescribe $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ como $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ .

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

Step 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ es una identidad