Trigonometría Ejemplos

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$ , $\sin (θ) < 0$

Paso 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The cosine function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solución está en el cuarto cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de coseno para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\cos (θ) = \frac{adyacente}{hipotenusa}$

Paso 3

Obtén el lado opuesto del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen el lado adyacente y la hipotenusa, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Opuesto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adyacente}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Opuesto = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Haz que $\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$ sea negativo.

Opuesta $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

Opuesta $= - \sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Opuesta $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

Opuesta $= - \sqrt{9 - 1}$

Paso 5.5

Resta $1$ de $9$ .

Opuesta $= - \sqrt{8}$

Paso 5.6

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $4$ de $8$ .

Opuesta $= - \sqrt{4 (2)}$

Paso 5.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

Opuesta $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 5.7

Retira los términos de abajo del radical.

Opuesta $= - (2 \sqrt{2})$

Paso 5.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

Opuesta $= - 2 \sqrt{2}$

Paso 6

Obtén el valor del seno.

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Paso 6.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Paso 7

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{1}$

Paso 7.3

Divide $- 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el valor de $\cot (θ)$ .

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Paso 8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cot (θ) = - \frac{1}{(2) \sqrt{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 8.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.3.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{3}{1}$

Paso 9.3

Divide $3$ por $1$ .

$\sec (θ) = 3$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Paso 10.3

Simplifica el valor de $\csc (θ)$ .

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Paso 10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{3}{(2) \sqrt{2}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 10.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.3.3.1

Multiplica $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 10.3.3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 10.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 10.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 10.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 10.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 10.3.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 10.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 10.3.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 10.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$