Trigonometría Ejemplos

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$

Step 1

Usa la definición de cosecante para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\csc (θ) = \frac{hipotenusa}{opuesto}$

Step 2

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Step 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Step 4

Simplifica dentro del radical.

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Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

Adyacente $= \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adyacente $= \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Adyacente $= \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

Adyacente $= \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Reescribe la expresión.

Adyacente $= \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Evalúa el exponente.

Adyacente $= \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

Adyacente $= \sqrt{5 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Adyacente $= \sqrt{5 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Suma $1$ y $2$ .

Adyacente $= \sqrt{5 + {(- 1)}^{3}}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

Adyacente $= \sqrt{5 - 1}$

Resta $1$ de $5$ .

Adyacente $= \sqrt{4}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

Adyacente $= \sqrt{2^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

Adyacente $= 2$

Step 5

Obtén el valor del seno.

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Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Simplifica el valor de $\sin (θ)$ .

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Step 6

Obtén el valor del coseno.

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Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Simplifica el valor de $\cos (θ)$ .

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Step 7

Obtén el valor de la tangente.

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Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

Step 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{2}{- 1}$

Divide $2$ por $- 1$ .

$\cot (θ) = - 2$

Step 9

Obtén el valor de la secante.

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Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Step 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

$\cot (θ) = - 2$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$