Trigonometría Ejemplos

$2 \sin^{2} (x) = 2 + \cos (x)$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) - 2 = \cos (x)$

Resta $\cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) = 0$

Step 2

Simplifica $2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x)$ .

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Reordena $2 \sin^{2} (x)$ y $- 2$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Factoriza $- 2$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

Factoriza $- 2$ de $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 2 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$- 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Step 3

Resuelve $x$

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Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$- 2 u^{2} - u = 0$

Factoriza $u$ de $- 2 u^{2} - u$ .

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Factoriza $u$ de $- 2 u^{2}$ .

$u (- 2 u) - u = 0$

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Factoriza $u$ de $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (- 2 u - 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece $- 2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $- 2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $- 2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos (x) = 1$

Divide cada término en $- 2 \cos (x) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \cos (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$