Trigonometría Ejemplos

$A = 51 °$ , $b = 11$ , $c = 7$

Step 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Step 2

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Step 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(11)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 7 \cos (51 °)}$

Step 4

Simplifica los resultados.

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Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{121 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 11 \cdot (7 \cos (51 °))}$

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 2 \cdot 11 \cdot (7 \cos (51 °))}$

Multiplica $- 2 \cdot 11 \cdot 7$ .

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Multiplica $- 2$ por $11$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 22 \cdot (7 \cos (51 °))}$

Multiplica $- 22$ por $7$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 154 \cos (51 °)}$

Evalúa $\cos (51 °)$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 154 \cdot 0.62932039}$

Multiplica $- 154$ por $0.62932039$ .

$a = \sqrt{121 + 49 - 96.91534022}$

Suma $121$ y $49$ .

$a = \sqrt{170 - 96.91534022}$

Resta $96.91534022$ de $170$ .

$a = \sqrt{73.08465977}$

Evalúa la raíz.

$a = 8.54895664$

Step 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{11} = \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Step 7

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $11$ .

$11 \frac{\sin (B)}{11} = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $11$ .

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Cancela el factor común.

$11 \frac{\sin (B)}{11} = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $11 \frac{\sin (51 °)}{8.54895664}$ .

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Evalúa $\sin (51 °)$ .

$\sin (B) = 11 (\frac{0.77714596}{8.54895664})$

Divide $0.77714596$ por $8.54895664$ .

$\sin (B) = 11 \cdot 0.09090535$

Multiplica $11$ por $0.09090535$ .

$\sin (B) = 0.99995893$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (0.99995893)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (0.99995893)$ .

$B = 89.48074467$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 89.48074467$

Resta $89.48074467$ de $180$ .

$B = 90.51925532$

La solución a la ecuación $B = 89.48074467$ .

$B = 89.48074467, 90.51925532$

Step 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$51 ° + C + 89.48074467 = 180$

Step 9

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Suma $51 °$ y $89.48074467$ .

$C + 140.48074467 = 180$

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $140.48074467$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 140.48074467$

Resta $140.48074467$ de $180$ .

$C = 39.51925532$

Step 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 51 °$

$B = 89.48074467$

$C = 39.51925532$

$a = 8.54895664$

$b = 11$

$c = 7$