Trigonometría Ejemplos

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Step 1

Reemplaza $2 \sec^{2} (θ)$ con $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Step 3

Reordena el polinomio.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Step 4

Sustituye $u = \tan^{2} (θ)$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Step 5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Step 6

Suma $2$ y $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Step 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Factoriza.

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Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Step 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Step 9

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Step 10

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 3) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, - 1$

Step 12

Sustituye el valor real de $u = \tan^{2} (θ)$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Step 13

Resuelve la primera ecuación para $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Step 14

Resuelve la ecuación en $\tan (θ)$ .

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Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Step 15

Resuelve la segunda ecuación para $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Step 16

Resuelve la ecuación en $\tan (θ)$ .

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Elimina los paréntesis.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (θ) = i$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (θ) = - i$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (θ) = i, - i$

Step 17

La solución a $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ es $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Step 18

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Step 19

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (\sqrt{3})$ es $60$ .

$θ = 60$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 180 + 60$

Suma $180$ y $60$ .

$θ = 240$

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{180}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{180}{1}$

Divide $180$ por $1$ .

$180$

El período de la función $\tan (θ)$ es $180$ , por lo que los valores se repetirán cada $180$ grados en ambas direcciones.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 20

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- 60$ .

$θ = - 60$

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = - 60 - 180$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $360 °$ a $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

El ángulo resultante de $120 °$ es positivo y coterminal con $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{180}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{180}{1}$

Divide $180$ por $1$ .

$180$

Suma $180$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $180$ y $- 60$ para obtener el ángulo positivo.

$- 60 + 180$

Resta $60$ de $180$ .

$120$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 120$

El período de la función $\tan (θ)$ es $180$ , por lo que los valores se repetirán cada $180$ grados en ambas direcciones.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 21

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = i$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (i)$

La inversa de la tangente de $\arctan (i)$ es indefinida.

Indefinida

Step 22

Resuelve $θ$ en $\tan (θ) = - i$ .

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Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (- i)$

La inversa de la tangente de $\arctan (- i)$ es indefinida.

Indefinida

Step 23

Enumera todas las soluciones.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 24

Consolida las soluciones.

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Consolida $60 + 180 n$ y $240 + 180 n$ en $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $120 + 180 n$ y $120 + 180 n$ en $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$