Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Step 2

Resta de fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Para escribir $- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ por $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Multiplica $\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ por $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Reordena los factores de $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Resta $\csc (θ)$ de $\csc (θ)$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

Step 6

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\cot (θ)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Step 7

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Combina $2$ y $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Step 8

Reescribe $\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ como $2 \tan^{2} (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ)$

Step 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ es una identidad