Trigonometría Ejemplos

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Para escribir $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ .

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Para escribir $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ .

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ por $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

Multiplica $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ por $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)}$

Reordena los factores de $(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Simplifica el numerador.

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Expande $(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \cos (3 t)) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Multiplica $\cos (3 t)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Multiplica $\cos (3 t)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Multiplica $\cos (3 t) \cos (3 t)$ .

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Eleva $\cos (3 t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Eleva $\cos (3 t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos^{1} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + {\cos (3 t)}^{1 + 1} + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Suma $\cos (3 t)$ y $\cos (3 t)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Multiplica $\sin (3 t) \sin (3 t)$ .

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Eleva $\sin (3 t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Eleva $\sin (3 t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin^{1} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + {\sin (3 t)}^{1 + 1}}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Reescribe $1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)$ en forma factorizada.

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Reorganiza los términos.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \sin^{2} (3 t) + \cos^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + 1}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Factoriza $2$ de $2 + 2 \cos (3 t)$ .

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Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Cancela el factor común de $1 + \cos (3 t)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sin (3 t)}$

Step 3

Reescribe $\frac{2}{\sin (3 t)}$ como $2 \csc (3 t)$ .

$2 \csc (3 t)$

Step 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$ es una identidad