Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$2 θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$2 θ = \frac{2 π}{3}$

Step 3

Divide cada término en $2 θ = \frac{2 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 θ = \frac{2 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{π}{3}$

Step 4

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Step 5

Resuelve $θ$

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Simplifica.

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$2 θ = \frac{4 π}{3}$

Divide cada término en $2 θ = \frac{4 π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 θ = \frac{4 π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Step 6

Obtén el período de $\cos (2 θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Step 7

El período de la función $\cos (2 θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$