Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Step 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (x) = 1$

Step 2

Divide cada término en $2 \cos^{2} (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos^{2} (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Step 3

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Step 4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 7

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $45$ .

$x = 45$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 360 - 45$

Resta $45$ de $360$ .

$x = 315$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\cos (x)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$x = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $135$ .

$x = 135$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 360 - 135$

Resta $135$ de $360$ .

$x = 225$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\cos (x)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$x = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Enumera todas las soluciones.

$x = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Consolida las respuestas.

$x = 45 + 90 n$ , para cualquier número entero $n$