Trigonometría Ejemplos

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

Step 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Step 2

Establece $\cot (θ) - \sqrt{3}$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\cot (θ) - \sqrt{3}$ igual a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Resuelve $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ en $θ$ .

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Suma $\sqrt{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la cotangente.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (\sqrt{3})$ es $30$ .

$θ = 30$

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 180 + 30$

Suma $180$ y $30$ .

$θ = 210$

Obtén el período de $\cot (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{180}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{180}{1}$

Divide $180$ por $1$ .

$180$

El período de la función $\cot (θ)$ es $180$ , por lo que los valores se repetirán cada $180$ grados en ambas direcciones.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 3

Establece $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ igual a $0$ .

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Resuelve $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ en $θ$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

Divide cada término en $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ por $\sqrt{2}$ y simplifica.

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Divide cada término en $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- 45$ .

$θ = - 45$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $360$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $180$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 360 + 45 + 180$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

El ángulo resultante de $225 °$ es positivo, menor que $360 °$ y coterminal con $360 + 45 + 180$ .

$θ = 225 °$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

Suma $360$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $360$ y $- 45$ para obtener el ángulo positivo.

$- 45 + 360$

Resta $45$ de $360$ .

$315$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 315$

El período de la función $\sin (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ verdadera.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Consolida $30 + 180 n$ y $210 + 180 n$ en $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$