Trigonometría Ejemplos

$4 \sin^{2} (x) = 5 - 4 \cos (x)$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = - 4 \cos (x)$

Suma $4 \cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Step 2

Reemplaza $4 \sin^{2} (x)$ con $4 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Step 4

Resta $5$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 + 4 \cos (x) = 0$

Step 5

Reordena el polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Step 6

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = 0$

Step 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2} + 4 u - 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) + 4 u - 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (- 4 u) - 1 = 0$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (- 4 u)$ .

$- (4 u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2} - 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} - 4 u + 1) = 0$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} - 4 u + 1) = 0$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2}) = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Reescribe el polinomio.

$- ({(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 2 u$ y $b = 1$ .

$- {(2 u - 1)}^{2} = 0$

Step 8

Divide cada término en $- {(2 u - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- {(2 u - 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(2 u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Divide ${(2 u - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Step 9

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Step 10

Resuelve $u$

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 11

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Step 12

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Step 13

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Step 14

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 15

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Step 16

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 17

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$