Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$ no está definida.

$x = 8$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza $3$ de $3 x - 24$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 (x) - 24}$

Paso 5.1.2

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 3 \cdot - 8}$

Paso 5.1.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 8$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 (x - 8)}$

Paso 5.2

Expande $3 (x - 8)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{3 x + 3 \cdot - 8}$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$\frac{x^{2} + 1}{3 x - 24}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$24$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$8 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - 8 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					+	$8 x$	-	$64$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x - 64$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					-	$8 x$	+	$64$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{8}{3}$
$3 x$	-	$24$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$8 x$	+	$1$
					-	$8 x$	+	$64$
							+	$65$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{65}{3 x - 24}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 8$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 7