Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 12 x + 8 y = - 40$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 x + 8 y = - 40 - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 40$ y $- 12$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 40$ .

$x = \frac{- 4 (10)}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 10}{- 4 \cdot 3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 4 \cdot 10}{- 4 \cdot 3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $- 8$ y $- 12$ .

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Paso 1.1.2.3.1.3.1

Factoriza $- 4$ de $- 8 y$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 12$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 (3)}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3}$ .

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Paso 1.2.1

Mueve $\frac{10}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{10}{3}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{10}{3}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{12}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{12}}$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Paso 1.2.4.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Paso 1.2.4.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.4.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{9} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{10}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{10 - 4}{3}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $4$ de $10$ .

$e = \frac{6}{3}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $6$ por $3$ .

$e = 2$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y + 4)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = - 4$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 4)$

Paso 4