Precálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Paso 2.7

Consolida las soluciones.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1 - \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1 - \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Paso 2.9.1.3

$13$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Paso 2.9.2.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1 + \sqrt{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1 + \sqrt{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Paso 2.9.3.3

$13$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Verdadero

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{3}$ Verdadero

$x < 1 - \sqrt{3}$ Verdadero

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{3}$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ o $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{2 x - 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x - 3 \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Suma $3$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x \geq 3$

Paso 4.2

Divide cada término en $2 x \geq 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $2 x \geq 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Paso 6