Precálculo Ejemplos

$\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ no está definida.

$x = - 3, x = - 2, x = 1, x = 2$

Paso 2

Como $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la izquierda y $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la derecha, entonces $x = - 3$ es una asíntota vertical.

$x = - 3$

Paso 3

Como $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la izquierda y $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la derecha, entonces $x = - 2$ es una asíntota vertical.

$x = - 2$

Paso 4

Como $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la izquierda y $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la derecha, entonces $x = 2$ es una asíntota vertical.

$x = 2$

Paso 5

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 3, - 2, 2$

Paso 6

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 7

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 5$

$m = 4$

Paso 8

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 9

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 9.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Paso 9.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{4}$ .

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Paso 9.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

Paso 9.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{5} + 2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x$ .

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

Paso 9.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

Paso 9.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

Paso 9.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{4}$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

Paso 9.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

Paso 9.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 56 x - 84$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

Paso 9.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

$23 x^{3}$

$27 x^{2}$

$71 x$

$75$

Paso 9.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - 7 + \frac{23 x^{3} - 27 x^{2} - 71 x + 75}{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12}$

Paso 9.12

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 7$

Paso 10

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3, - 2, 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 7$

Paso 11