Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$ no está definida.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 4 \cdot 5 = - 20$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 (x) + 5}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.1.2

Reescribe $- 8$ como $2$ más $- 10$

$\frac{- 4 x^{2} + (2 - 10) x + 5}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 4 x^{2} + 2 x) - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (- 2 x + 1) + 5 (- 2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x + 1$ .

$\frac{(- 2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.5.1

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.2

Expande $- (2 x - 1) (2 x + 5)$ .

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Paso 5.2.1

Haz que $2 x - 1$ sea negativo.

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot (2 x (2 x)) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot (2 x) \cdot (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.8

Mueve $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.9

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot (2 x) \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.10

Mueve $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.11

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.12

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.13

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x \cdot x - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.17

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.18

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.19

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.20

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.21

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.22

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.23

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 5}{2 x + 1}$

Paso 5.2.24

Suma $- 10 x$ y $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{2}$

$8 x$

$5$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 2 x$ .

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					-	$6 x$	-	$3$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 3$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$
							+	$8$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- 2 x - 3 + \frac{8}{2 x + 1}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - 2 x - 3$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{1}{2}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - 2 x - 3$

Paso 7